De nombreux étudiants qui étudient les mathématiques supérieures dans leurs années de terminale se sont probablement demandé: où les équations différentielles (ED) sont-elles appliquées en pratique ? En règle générale, cette question n'est pas abordée dans les cours et les enseignants passent immédiatement à la résolution de l'ED sans expliquer aux étudiants l'application des équations différentielles dans la vie réelle. Nous allons essayer de combler cette lacune.
Commençons par définir une équation différentielle. Ainsi, une équation différentielle est une équation qui relie la valeur de la dérivée d'une fonction à la fonction elle-même, les valeurs de la variable indépendante et certains nombres (paramètres).
Le domaine le plus courant dans lequel les équations différentielles sont appliquées est la description mathématique des phénomènes naturels. Ils sont également utilisés pour résoudre des problèmes où il est impossible d'établir une relation directe entre certaines valeurs décrivant un processus. De tels problèmes se posent en biologie, en physique, en économie.
En biologie:
Le premier modèle mathématique significatif décrivant les communautés biologiques était le modèle Lotka - Volterra. Il décrit une population de deux espèces en interaction. Le premier d'entre eux, appelé prédateurs, en l'absence du second, s'éteint selon la loi x ′ = –ax (a> 0), et le second - proie - en l'absence de prédateurs se multiplie indéfiniment conformément à la loi de Malthus. L'interaction de ces deux types est modélisée comme suit. Les victimes meurent à un taux égal au nombre de rencontres de prédateurs et de proies, qui dans ce modèle est supposé être proportionnel à la taille des deux populations, c'est-à-dire égal à dxy (d> 0). Par conséquent, y ′ = par - dxy. Les prédateurs se reproduisent à un rythme proportionnel au nombre de proies mangées: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Système d'équations
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = par - dxy, (2)
le prédateur-proie décrivant une telle population est appelé système (ou modèle) Lotka-Volterra.
En physique:
La deuxième loi de Newton peut être écrite sous la forme d'une équation différentielle
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), où m est la masse du corps, x est sa coordonnée, F (x, t) est la force agissant sur le corps de coordonnée x au temps t. Sa solution est la trajectoire du corps sous l'action de la force spécifiée.
En économie:
Modèle de croissance naturelle de la production
Nous supposerons que certains produits sont vendus à un prix fixe P. Soit Q (t) la quantité de produits vendus à l'instant t; alors, à ce moment-là, le revenu est égal à PQ (t). Qu'une partie du revenu spécifié soit dépensée en investissements dans la production de produits vendus, c'est-à-dire
I (t) = mPQ (t), (1)
où m est le taux d'investissement - un nombre constant, et 0
